সহজ কৌশলে যেকোনো সংখ্যার মোট উৎপাদক সংখ্যা বের করার নিয়ম

গণিত ইশকুলের নতুন পর্বে তোমাদের সবাইকে স্বাগতম। ছোটবেলায় উৎপাদক নিয়ে কাজ করতে গিয়ে আমরা অনেকেই হিমশিম খেয়েছি। বিশেষ করে বড় কোনো সংখ্যার সব কটি উৎপাদক খুঁজে বের করতে গিয়ে অনেক সময় তালগোল পাকিয়ে যেত, আবার কোনোটি বাদ পড়ে যাওয়ার ভয়ও থাকত। কিন্তু তোমরা কি জানো, যেকোনো সংখ্যার মোট উৎপাদক সংখ্যা কত, তা বের করার একটি চমৎকার গাণিতিক সূত্র রয়েছে?

এই বিষয়টি বোঝার জন্য আমরা ৫৯৮০০ সংখ্যাটিকে উদাহরণ হিসেবে ব্যবহার করতে পারি। নিচে ধাপে ধাপে পদ্ধতিটি তুলে ধরা হলো

উৎপাদক নির্ণয়ের ধাপসমূহ

• ধাপ ১: প্রথমে সংখ্যাটিকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। যেমন: ৫৯৮০০ = ২×২×২×২×৩×৫×৫×৭×৭
• ধাপ ২: এবার মৌলিক সংখ্যাগুলোকে ভিত্তি ধরে তাদের সূচক আকারে সাজাতে হবে। অর্থাৎ: ৫৯৮০০ = ২⁴×৩¹×৫²×৭²
• ধাপ ৩: প্রাপ্ত সূচকগুলোর প্রতিটির সঙ্গে ১ যোগ করে গুণ করতে হবে। এখানে সূচকগুলো হলো ৪, ১, ২ এবং ২। সুতরাং, (৪+১)×(১+১)×(২+১)×(২+১) = ৯০

অর্থাৎ, ৫৯৮০০ সংখ্যাটির মোট ৯০টি ধনাত্মক উৎপাদক রয়েছে। সহজ কথায়, কোনো সংখ্যাকে যদি মৌলিক উৎপাদকের গুণফল হিসেবে প্রকাশ করা যায় এবং সূচকগুলো যদি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে প্রতিটি সূচকের সঙ্গে ১ যোগ করে তাদের গুণফলই হবে ওই সংখ্যার মোট উৎপাদক সংখ্যা। গাণিতিকভাবে, কোনো সংখ্যা A=pˣqʸrᶻ হলে, তার মোট উৎপাদক সংখ্যা হবে (x+১)(y+১)(z+১)টি।

এই সূত্রের গাণিতিক ভিত্তি নিয়ে গণিত ভাইয়ার সঙ্গে আলোচনার সময় একটি মজার উদাহরণ সামনে আসে। ধরো, ৫৯৮০০ সংখ্যাটি নয়, বরং এগুলো হলো কিছু ফল। তোমার কাছে ৪টি আপেল, ১টি আঙুর, ২টি কমলা এবং ২টি আম আছে। তুমি এগুলো থেকে কতভাবে ফল নিতে পারো?

আপেলের ক্ষেত্রে তোমার কাছে ৫টি বিকল্প আছে (০ থেকে ৪টি পর্যন্ত)। আঙুরের জন্য ২টি, কমলার জন্য ৩টি এবং আমের জন্য ৩টি বিকল্প রয়েছে। এই বিকল্পগুলোর গুণফলই (৫×২×৩×৩ = ৯০) নির্দেশ করে যে তুমি কতভাবে ফলগুলো নির্বাচন করতে পারো। প্রতিটি নির্বাচনই আসলে ওই সংখ্যার একটি উৎপাদক। যেমন, তুমি যদি ২টি ২, কোনো ৩, কোনো ৫ এবং ১টি ৭ নাও, তবে ২×২×৭ = ২৮ হয়, যা ৫৯৮০০-এর একটি উৎপাদক। এভাবে মোট ৯০টি উপায়ে বিভিন্ন সংখ্যা নিয়ে ৫৯৮০০-এর উৎপাদক গঠন করা সম্ভব।

গণিত ইশকুলের এই পর্বে তোমাদের জন্য একটি প্রশ্ন রইল—তোমরা কি বলতে পারো, কখন একটি সংখ্যার মোট উৎপাদক সংখ্যা বিজোড় হয়? বিষয়টি নিয়ে চিন্তা করো। পরবর্তী পর্বে আবার দেখা হবে। তোমাদের সবার জীবনের গ্রাফের সেকেন্ড ডেরিভেটিভ নেগেটিভ হোক! প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: ছোটবেলায় আমরা তো সবাই উৎপাদক নিয়ে পড়েছি, তাই না। প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: অঙ্ক করতে গিয়ে এসব দুশ্চিন্তা ছিল আমাদের জন্য খুবই সাধারণ একটা ব্যাপার। প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: আমরা 58800 সংখ্যাটিকে উদাহরণ হিসেবে নিই। প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: ধাপ 2: এবার মৌলিক সংখ্যাগুলোকে ভিত্তি হিসেবে মৌলিক সংখ্যাগুলো যতবার আছে, তা উপরে সূচক আকারে লিখে পুরো লাইনটা আরেকটু সহজভাবে লিখি: 58800 = 2⁴×3¹×5²×7²। প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: উপরোক্ত নিয়ম মেনে A=pˣqʸrᶻ রূপে প্রকাশ করা হলে, A–এর উৎপাদকসংখ্যা (x+1)(y+1)(z+1)টি।

সূত্র: প্রথম আলো